【5星难度】20182018...2018x151514141313...0707的计算结果有多少个奇数数字

这是一道18年迎春杯小高组的计算题，我认为很难，太为难小朋友了吧。

原题如下：

20182018...2018（共18个2018）x151514141313...0707的计算结果有多少个奇数数字。

解析：

数字小可以直接算，对于原题这个思路就直接放弃。

那么分析两个数，

20182018...2018（共18个2018） = 2018*00010001...0001（18组0001）

设 151514141313...0707 = S1

S1的数字和为90，那么S1能被9整除

S1的奇数位数字和减去偶数位数字和是66，S1能被11整除

通过观察S1能被101整除，因为S1符合截取两位数的判定方法，即：

一个多位数，截取末两位，由末两位和之前的高位，各形成一个新数，这两个新数相减，
重复上述步骤，直至差足够小，这个差能被101整除，则原数能被101整除。

所以S1能被 9 * 11*101=9999整除

设 S1 = 9999 * S2（S2是1开头的32位数）

那么，

原式 = 2018*00010001...0001（18组0001）* 9999 * S2

=2018*00010001...0001（18组0001） * 9999 * S2

=9999（72个9）*S2

=9999（72个9）*S2*2018

设 S2*2018 = S3，S3应该有35位（因为S2是1开头的32位数）

故原式 = 9999（72个9）*S3（35位数）

分析到这一步，原式已被大大的化简，离最后的结果还有一步。

一般我们做某个数N*999，会改为N*（1000-1）来做

这里也用这个思路试试：

原式 = 【1000...0（72个0）-1】*S3

=S3*1000..0（72个0）-S3

=（S3-1）99...9（99...9-S3+1）【这是减法借位之后的结果描述】

第一部分S3-1是35位的一个数

中间部分999..9有37位（因为原来有72个0）

最后一部分99..9-S3+1仍然是一个35位数

可以看到，第一部分和最后一部分的和恰好是999..9（共35位9），那么

我们可以判断第一部分和最后一部分的奇偶位是互补的，

举个例子：

S3=728

728-1 = 727 和 999-728+1 = 272

9是奇数，必然是一个奇数加一个偶数得到，所以

727和272奇偶位互补，

连起来的这个数字727272奇数位和偶数位数量相同

所以原式=（S3-1）99...9（99...9-S3+1）

有奇数数字35+37=72个，偶数数字35个，总位数107位

补：

我们可以进一步猜测：

 999...9（N个9）*S1（M位数），只要M<N那么结果就有N个奇数

这个猜测的证明与上面过程类似，留给小朋友们作为作业吧。