原题如下：
4444的4444次方，其得数记为X，X的各位数字之和记为A，A的各 位数字之和记为B，那么B的各位数字之和为多少？


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思考20分钟，
找找思路，
试探一下各种能想到的方法
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解法如下：

说到数码和，我们自然想一个数到被3整数、被9整除的性质，

即各个数码之和能被3或9整除，那么此数就能被3或9整除。

我们考虑4444除3的余数，余1

那么 4444^4444除3的余数也是1（这里应用了带余数乘法的性质）

也就是 

X =  4444^4444 = 1 （mod 3）

A是X的数码和，B是A的数码和，

设C是B的数码和，我们要求C的值

自然

C = B = A = 1 （mod 3）

第二步，考虑A的最大值

X的位数最多 4444*4 = 17776位

所以A < 17776*9 = 159984

A是一个不超过6位的数

B < 6*9 = 54

所以B最多两位

因此C < 5+9 = 14

小于14且除3余1的数有很多，1、4、7、10、13等

确定不了

第三步，我们用模9试试

C = B = A = 7 （mod 9）

C < 5+9 = 14

那么C只能等于7

原题的答案为7

解毕

题目如下：

正整数a,b满足 a²-4b和b²-4a都是完全平方数，问满足条件的a,b有多少组。（如果两组数仅次序不同视为同一组）

据说是浙江某中学数学老师的招聘笔试题，有点难度。

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思考20分钟，

找找思路，

试探一下各种能想到的方法

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这属于数论题，初等数论一般应用的方法有整数除法，同余，奇偶性讨论等。
 a²-4b和b²-4a这样的形式是对称的，不妨设 a>=b
讨论：
1、如果a=b
那么a²-4a=n2
即a²-n2-4a=0，进一步
a²-n2-4a+4=4
(a-n-2)(a+n-2)=4（乘积为4，只有1*4， 2*2两种情况，分别讨论）
只有一组解 a=4,b=4

2、如果a>b
我们要思考a、b的关系，a比b大多少？

只有一个条件 a²-4b是一个完全平方数。

我们知道完全平方数有一个特点，即两个相邻的完全平方数之间没有其他完全平方数，

比如25和36之间就不会有其他数是完全平方数。

那么a²-4b和a²之间是否有其他完全平方数？

明显的，a²-4b < a²

a²-4b 会等于(a-1)²吗？

如果a²-4b = (a-1)²

化简上式得到： 2a-4b=1 

左边偶数，右边奇数，不能相等

所以 a²-4b < (a-1)²

比 (a-1)² 小的完全平方数就是(a-2)²

所以，我们可以得到

a²-4b <= (a-2)²

化简后，我们有 a - b <=1

因为a-b都是正整数

只能是 a = b + 1

代入 b²-4a= n²

(a-1)²-4a = n²

即 a²-6a+1-n²=0

(a-3-n)(a-3+n)=8

讨论 8=1*8 和 2*4这两种情况，

得到一组解，a = 6， b = 5

因此原题只有两组解，即

a=4，b=4和a=6，b=5

这道题的难点在于确定a和b的关系，同时利用完全平方数的特点，即

两个相邻的完全平方数之间没有其他完全平方数。

再回想一下，

a²-4b是个完全平方数，

a和b只能 a =b 或 a=b+1

这个结论还是很让人震撼的，

这也许就是数学的魅力把~~