【5星难度】一道数论题目 a^2-4b和b^2-4a，考验思维
2020/09/11
题目如下：
正整数a,b满足 a2-4b和b2-4a都是完全平方数，问满足条件的a,b有多少组。（如果两组数仅次序不同视为同一组）
据说是浙江某中学数学老师的招聘笔试题，有点难度。
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思考20分钟，
找找思路，
试探一下各种能想到的方法
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这属于数论题，初等数论一般应用的方法有整数除法，同余，奇偶性讨论等。
a2-4b和b2-4a这样的形式是对称的，不妨设 a>=b
讨论：
1、如果a=b
那么a2-4a=n2
即a2-n2-4a=0，进一步
a2-n2-4a+4=4
(a-n-2)(a+n-2)=4（乘积为4，只有1*4， 2*2两种情况，分别讨论）
只有一组解 a=4,b=4
2、如果a>b
我们要思考a、b的关系，a比b大多少？
只有一个条件 a2-4b是一个完全平方数。
我们知道完全平方数有一个特点，即两个相邻的完全平方数之间没有其他完全平方数，
比如25和36之间就不会有其他数是完全平方数。
那么a2-4b和a2之间是否有其他完全平方数？
明显的，a2-4b < a2
a2-4b 会等于(a-1)2吗？
如果a2-4b = (a-1)2
化简上式得到： 2a-4b=1
左边偶数，右边奇数，不能相等
所以 a2-4b < (a-1)2
比 (a-1)2 小的完全平方数就是(a-2)2
所以，我们可以得到
a2-4b <= (a-2)2
化简后，我们有 a - b <=1
因为a-b都是正整数
只能是 a = b + 1
代入 b2-4a= n2
(a-1)2-4a = n2
即 a2-6a+1-n2=0
(a-3-n)(a-3+n)=8
讨论 8=1*8 和 2*4这两种情况，
得到一组解，a = 6， b = 5
因此原题只有两组解，即
a=4，b=4和a=6，b=5
这道题的难点在于确定a和b的关系，同时利用完全平方数的特点，即
两个相邻的完全平方数之间没有其他完全平方数。
再回想一下，
a2-4b是个完全平方数，
a和b只能 a =b 或 a=b+1
这个结论还是很让人震撼的，
这也许就是数学的魅力把~~