【5星难度】某届IMO试题，很早以前的了，4444的4444次方。。。

原题如下：
4444的4444次方，其得数记为X，X的各位数字之和记为A，A的各 位数字之和记为B，那么B的各位数字之和为多少？


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思考20分钟，
找找思路，
试探一下各种能想到的方法
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解法如下：

说到数码和，我们自然想一个数到被3整数、被9整除的性质，

即各个数码之和能被3或9整除，那么此数就能被3或9整除。

我们考虑4444除3的余数，余1

那么 4444^4444除3的余数也是1（这里应用了带余数乘法的性质）

也就是 

X =  4444^4444 = 1 （mod 3）

A是X的数码和，B是A的数码和，

设C是B的数码和，我们要求C的值

自然

C = B = A = 1 （mod 3）

第二步，考虑A的最大值

X的位数最多 4444*4 = 17776位

所以A < 17776*9 = 159984

A是一个不超过6位的数

B < 6*9 = 54

所以B最多两位

因此C < 5+9 = 14

小于14且除3余1的数有很多，1、4、7、10、13等

确定不了

第三步，我们用模9试试

C = B = A = 7 （mod 9）

C < 5+9 = 14

那么C只能等于7

原题的答案为7

解毕