【4星难度】一道应用缩放法的计算题19*(1/10^2+1/11^。。。+1/2014^2)

原题如下：

求 19 * （1/10^2+1/11^2+1/12^2+...+1/2013^2+1/2014^2）的结果整数部分。

10^2表示10的2次方

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先自行思考20分钟，

找找思路，

试探一下各种方法

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这类问题硬着头皮算是不可行了，除非用计算机写个小程序。但在考场上，应该也不方便写程序了。

所以必须考虑其他方法。

这是个估值问题，不需要计算准确结果。估值就自然想到缩放法，即找值的上限和下限

比如，设原式的值为P，我们有 P>0，也容易得到 P<19*0.01*2005<381（把每个分数都看成1/10^2，共2005个分数）

那如何找出更小的界限？

我们从单个分数入手

1/10^2=1/(10*10)=1/100

针对1/100，最小的估值界限我们有：

1/101<1/100<1/99

同样，1/11^2

1/122<1/121<1/120

以此类推，这样问题就转化为求 1/101+1/122+1/145 +。。。+Last的和，这是最小值。

这些分数之间并没有什么计算模式可以联系，让求和过程变得简单。

这个思路不是很理想，必须换一换。

这次我们对缩放以后的分数数列要能够方便求和的角度出发重新进行考虑，

分数数列求和有一种模式是前后能销项，如：

1/2*3+1/3*4+1/4*5=1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5=1/2-1/5

这种模式和原题应该有某种联系，这是我们灵感一闪的时刻 ：）

缩放法相比普通计算题更有创新性和挑战性，我们可以自己设计缩放的模式。

这次这样来设计：

1/(10*11)<1/(10*10)<1/(9*10)

1/(11*12)<1/(11*11)<1/(10*11)

。。。

1/(2014*2015)<1/(2014*2014)<1/(2013*2014)

这样求和实际上就是裂项后销项的处理过程了，

最后设原式=P，有

19*(1/10-1/2015)<P<19*(1/9-1/2014)

通过计算：

1.89<P<2.10

？ 好像还确定不了P的整数部分，因为可能为1也可能为2。

看来我们这上边界还大了，需要再缩小。

还是考虑裂项，这么设计会不会更小？

1/(10*10)<1/(9.5*10.5)

1/(11*11)<1/(10.5*11.5)

保持分母两个数间隔1，这么算下来那么

P<19*(1/9.5-1/2014.5)=1.991

那么P<2

所以P的整数部分是 1

答毕。