一道来自美国的组合题，在一个10行10列的棋盘上，任意放入15枚棋子

原题如下：

在一个10行10列的棋盘上，任意放入15枚棋子，每个棋格中最多放一个。请证明：可以从其中挑出5行和5列，使所有棋子都在挑出的行或列中。

///////////////////////////////////////////////////////////
思考20分钟，
找找思路，
试探一下各种能想到的方法，
看看最远能走到哪里
///////////////////////////////////////////////////////////

解析：

首先建立画面感，15枚棋子放入棋盘上，一定有一些行有多枚，有些行只有一枚或没有。

挑出5行，要包含尽量多的棋子，自然选棋子最多的5行。

那么考虑棋子最多的5行至少有几枚棋子？这是这道题的突破口。接下来计算论证，这也不容易的。

棋盘总共10行，分成两组，棋子多的5行为一组和棋子少的5行为一组，

并且棋子多的那组每行棋子数不少于棋子少的组每行棋子数。

那么

对于棋子少的那5行，最多总共能有5枚棋子，

因为如果有6枚，按抽屉原理，

必然有一行有2枚或2枚以上棋子。

而多的那一组，因为只有9枚棋子（15-6=9），因此，

必然有1行只有1枚。

这样与我们的假定相矛盾。

所以，对于棋子少的那5行，最多总共能有5枚棋子

也即棋子多的那5行至少有10枚棋子

我们选这5行，

还剩下5枚棋子，用5列去选必定都可以选中。

原题证毕。

点评：

这道题还可以对10行按棋子数进行排序，从多到少，编号为1、2、3、4、。。。直到10

我们讨论第5行。

如果第5行的棋子数<=1，那么后续6、7。。。10行都<=1，选前5行棋子数必然>=10

如果第5行棋子数>=2，那么前5行棋子总数必然>=5*2=10

这么证明似乎更简洁一些，但也要求孩子建立排序讨论的思想。

此题在构造论证的过程中用到了抽屉原理、排序等数学方法，看似简单却是一道锻炼思维的好题。