一道有趣的逻辑推理题，有若干把锁，现有6个人各掌握了其中一部分锁的钥匙

2020/10/06

原题如下：

有若干把锁，现有6个人各掌握了其中一部分锁的钥匙，已知任意2人同时去开锁，恰好有一把锁打不开，而任意三个人都可以把全部锁打开。那么至少有几把锁。

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思考20分钟，
找找思路，
试探一下各种能想到的方法
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解析：

这道题属于最值问题，需要我们构造论证。

但如果一上来就开始构造，会浪费很多时间。

我们要分析原题带来的限制条件。

设锁为1、2、3、。。。n

6个人分别为P1、P2、P3、P4、P5、P6

首先考虑“已知任意2人同时去开锁，恰好有一把锁打不开”。

这里有6个人，任意两人的组合有C(6,2)=15种

在这15种组合中，我们要问一个问题：是否有两种组合它们打不开的锁相同？

如有相同，比如P1+P2和P3+P4都开不了锁1，

那么也就是P1+P2+P3+P4这4个人一起都打不开锁1，

这和原题中第二个条件矛盾了，即“任意三个人都可以把全部锁打开”。

所以，我们可以得到：

这15种组合中，打不开的锁都互不相同

也就是说锁的个数n>=15

我们讨论n=15的情况。

假设P1+P2缺第k把钥匙，那么k一定在P3、P4、P5、P6手中，

因为“任意三个人都可以把全部锁打开”

同样，对于任意一把钥匙k，有且只有4个人有。

每把锁有且仅有4把同样的钥匙，

这样我们可以计算每个人有几把钥匙：

15x4/6=10（把）

进过上述讨论，我们知道锁有15把，每个人有钥匙10把，我们尝试构造。

我们知道每两个人都缺一把钥匙，可以列表表示如下：

根据以上缺钥匙编号的假定，我们可以构造出每个人拥有钥匙的情况：

点评：

本题是需要先证明后构造的逻辑推理题，与前几天的那道连续自然数数码和不是16倍数的那道题刚好相反。这类题是近年以来数学竞赛的热点，要求我们不仅要善于观察和思考，还要敢于猜测和联想。