这道题能想到用抽屉原理吗？说说先构后证这一数学解题思维
2020/09/29
原题如下：
最多有多少个连续的自然数，它们的各位数字和都不是5的倍数？
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思考过程：
先举一个例子，如
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15
这一串数，它们的各位数字和分别为：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、2、3、4、5、6
因为，这些数要求是连续的自然数，那么后一个自然数一定比在它前面的自然数大1
如果它们除了个位数以外的数字都相同，那么它们的数字和也将是一些相邻的自然数，
比如这里的
10、11、12、13、14、16
它们的十位相同仅个位数不同，其各位数字和分别是：
1、2、3、4、5、6
是一串连续的自然数。
数串8、9、10、11、12就不符合这个规律，因为它们十位不同。
我们还知道，
任何连续的5个自然数必然有一个能被5整除
因为5各连续自然数除以5的余数只能有1、2、3、4和0 这5种情况
考虑原题的要求，我们猜测：
仅个位数不同的自然数串最多连续有4个，其数码和不是5的倍数
另外在加上十位数与上述不同的连续4个，
总共是8个
比如 6、7、8、9、10、11、12、13
对于上述猜想，我们需要严格证明。
要证明最多是8个，自然想到9个可不可以，或者比8个多是否可行？这是反证法，也就是归谬法。如果超过8个不可以，同时我们又能构造出8个连续自然数的一个例子，那么也就完成了证明。思路是这样，考虑如何入手。
设有一串自然数，个数大于等于9个。根据前面的讨论，我们知道
1、如果它们除了个位数以外的数字都相同，那么它们的数字和也将是一些相邻的自然数
2、任何连续的5个自然数必然有一个能被5整除
能想到什么？这9个数有可能除了个位数以外的数字都相同，也有可能十位数不同。
按照十位数以上数字是否相同，我们把这9个数分为两类，根据抽屉原理，必然有一类数字个数大于等于5个，那么这5个数，它们的各位数码和就是连续的5个自然数，也就是有必能被5整除的一个数。
这样就证明了前面的猜想。
所以本题的答案是8
这类问题，还有升级版，题目如下：
最多有多少个连续的自然数，它们的各位数字和都不是16的倍数？
解析：
最小的两位数79其数字和等于16，也就是从1开始直到78，
这78个自然数其数码和都不是16的倍数。
那么78是最多的满足条件的连续自然数个数吗？
类似第一道题的考虑方式，按百位以上数字是否相同我们把目标的这串数分为两段，
后一段从1000….00（K个0），开始直到1000…0068（K个0），
最后两位数字不能超过68，因为1+6+9=16了
前一段应该从999….开始到999…99（K个9）
接着分析，
00、01、02直到68，这两位数码和是0到14，共15个，没有其他了
从31、32、33直到99，这两位数码和是4到18，共15个，也没有其它了
这样最好了，我们目标就要构造这样的数列。
因为如果有16个数码和，则必然有一个能被16整除（抽屉原理）
继续构造第一个数99..31
31前面有n个9
目标：9*n + 4除16余1
n=5满足
即9999931直到9999999这69个数的数码和除16的余数只能是1到15之间的任意数，
不会有数的数码和被16整除
所以9999931到10000068这138个数的数码和不能被16整除。
是否138就是最大呢？
这里的证明需要用到抽屉原理，
即把大于等于139个连续的自然数，按百位以上数码是否相同分成两部分，其中一部分必然大于等于70个。
假设：
1、大于70个数的那一组最大的百十位数为99
那么这一组最小数必然小于等于30，
其数码和从3到18，共16个，包括16，根据抽屉原理
不论其百位以上数码和是多少，这一组数中必有一个数的数码和能被16整除。
2、大于70个数的那一组最小的百十位数位00
那么这一组最大数必然大于等于69，
其数码和从0到15，共16个，包括16，根据抽屉原理
不论其百位以上数码和是多少，这一组数中必有一个数的数码和能被16整除。
也就是说，138是最大的自然数数串的数字个数。
点评：
第一题虽然简单，其实我们也用了构造。从简单的数列构造中，探寻约束条件下的规律。
第二题，如果没有构造目标数列，我们不能直接想到70个连续自然数的数串的性质，也就不能应用抽屉原理来进一步证明。在构造的过程中，我们也应用了抽屉原理。抽屉原理本身也是一种抽象的构造技巧，即我们要设计抽屉，也要设计苹果。
在解题的很多时候，我们要经常想一想，是否有做过类似的题，这个难题的简化版本是什么。
从简单入手，套用熟悉的模型，往往是一个解决复杂问题的有效办法。