这道题需要空间想象能力，一个60x100的长方形。。。

原题如下：

一个60x100的长方形，全部由1x1的小正方形组成，从长方形的一个角到其对角划一条直线，问，这条直线穿过了多少个正方形。穿过的定义是指直线从正方形内部穿过。如下图这样。

解析：

求直线穿过正方形的数量，我们不要画出来去数，这样很费时间，对建立解题思路也没有什么启发性。

先想想一个简单的问题：

直线穿过1个正方形，会有几个交点。

必然有2个交点，因为如果只有1个交点，就是擦边而过，不是穿过。如有3个交点，那不是直线能做的事。

那么反过来考虑，根据交点数是否可以计算出穿过的正方形数。

 

像下面这个例子，红色的对角线穿过了2条垂直线，1条水平线，总共有3个交点

中间这些交点属于两个相邻的正方形共有，在统计时我们要*2

那么加上两个顶角的交点，

2+3*2=8

穿过的正方形数：

8/2=4

 

如果是这种情况，直线穿过了一个小正方形的顶点

红色的对角线穿过了2条垂直线，1条水平线，总共有3个交点

但其中有两个交点重叠了（即正方形顶点），在统计时需要减去

内部总共的交点数：

3-1=2

穿过的正方形数：

（2+2*2）/2=3

 

这种思路应该是可以的。

也可这么想，数数看直线被分成几段了，这个跟穿过正方形数是一样的。

我们这次决定尝试一下数交点数的方法。

60X100的长方形，内部总共有99条垂线和59条横线，

对角的直线都会穿过这些垂线、横线

总共交点有 99 + 59个

注意，这里面有没有小正方形的顶点？

假设最左上角的顶点为（0，0），最右下角顶点编号为（60，100）

这些编号的顶点都会被直线穿过（只考虑长方形内部）

（3，5）（6，10）（9，15）。。。直到（57，95）

总共有19个点

所以内部的交点 99 + 59 – 19 =139个

那19个顶点重复统计了2次。

穿过的正方形数有

（2+139*2）/2 = 140 （个）

解毕

点评：

对于无法入手的问题，我们可以尝试把问题简化为一个规模不那么大的情形，进行分析和探讨，或者回想一下，是否有做过类似的问题，从简单入手，找出方案。进一步推而广之，向目标问题靠近。

这道题还有几个相对复杂的升级版本，一起来看看。

问题1：

一个10x10x10的大正方体，由1000个单位为1的小正方体组成，一个钢丝从正方体一面穿入从另一面穿出，问，最多能穿过多少个小正方体。

解析：

直线每穿过一个小正方体，最多穿过其两个不同的面，如果从棱线或顶角穿入穿出，那么会相应减少所穿过的面的数量。

为简化问题，我们假设直线全部从面上穿过，即不经过棱或顶点。

那么在正方体内部直线穿过的面有：

前后共9个，左右共9个，上下共9个

一共27个，这些面为两个小正方体共有，在统计时要*2

加上外部的2个面（一进一出）

穿过小正方体最多有（每个小正方体提供2个面）：

（27*2+2）/2=28个

问题2：

小长方体尺寸为1*2*3，共有36块小长方体组成一个6*6*6的大正方体，如下图，问：其对角线CE穿过了几个小长方体。

解析：

这道问题更复杂一点，它规定了直线的路径，我们必须要考虑内部是否穿过长方体的棱边，或者顶点。可是对角线在正方体内部，不像上面的题，可以在平面上把图形画出来讨论。我们要通过想象力，建立立体模型，这是这道题的难点所在。

 

先考虑CE这条线在哪几个切面上？这里切面指把正方体切开后展示出来的面。

CE在这几个面上：

DCEF、EBCH、ACGE

而不在DBFH上

如果CE所在的切面穿过了长方体的棱线，那么CE也必然穿过此棱线。

关于上面这一点，不那么显而易见，但仔细考虑后应该能明白。

 

现在来进行计算。

对角线CE穿过的面有：

前后2个，上下5个，左右1个，共8个

考虑内部穿过的棱线有3条（具体如图示），

穿过一条棱，等价于同时穿过了两个面，

穿过一个顶角，等价于同时穿过了三个面（这里没有穿过顶角的情况）

在统计面时应该减掉过棱的次数，所以穿过的小长方体数有：

（（2+5+1-3）*2+2）/2 =6个

如果我们第一次碰到的就是最后这一道题，不一定能分析出结论。

但是，如果我们从最简单的平面分析开始，

一步一步往下走，走到最后的结论应该不难，至少是有考虑的方向了。

这应该就是我们常说的数学解题思维吧。