《爱延续》是纪录片《台北故宫》的片头曲，表达了海峡两岸薪火相传、一脉传承的主题。

词曲均由中国台湾著名音乐人小虫制作，并由台湾少数民族歌手纪晓君演唱。

马上就是4年一度的美国总统大选时间了，看热闹的时候值得去了解一下游戏规则。

美国民主拥有240年的悠久经验，在漫长的民主实践中，发展出独一无二的间接选举制度：选举人团。不过这个制度也常常令人晕头转向、搞不懂美国总统到底是怎么选出来的。今天就来作一番了解。

1、什么是选举人团？

选举人团（英语：Electoral College）是美国总统选举的方式，是一种间接选举，旨在选出美国总统和副总统。根据《美国宪法》，美国各州公民先选出该州的选举人（也就是参众两院议员），再由选举人代表该州投票；由于美国是联邦制国家，并考虑到各州的特定地理及历史条件，制宪元老决定采取选举人团制度，保障各州权益。

所以美国大选当天，我们会看到美国人民兴匆匆投票“选总统”。当然他们是在选总统没错，但实际上他们选出的应是“选举人团”。

4年级的小朋友们正在利用选举人团地图试算，要如何才能获得270张选举人票成为美国总统。（美联社）

2、制度

一个州为一个选举人团单位。各州的选举人数意即该州在参众两院议员总人数。例如：纽约州有2位参议员与27位众议员，所以共有29张选举人票[1]。目前共538名选举人，结构为100位参议员与435位众议员，外加首都华盛顿特区特有的3张选举人票。各州当中以加利福尼亚州选举人票最多，达55张；得克萨斯州38张，纽约州、佛罗里达州29张；而阿拉斯加、特拉华、怀俄明等州最少，只有3张。
1961年批准的第二十三条宪法修正案给予华盛顿特区选举权，同时规定特区所拥有的选举人票数不得超过人口最少之州的选举人票数（即3人），因此华盛顿所拥有的选举人至今为3人。
得到超过半数选举人票（即获得270票）的总统候选人获胜。
除了缅因州和内布拉斯加州两个州是采用众议员选区方式。在每个众议员选区的总统选举获胜者各获得一张选举人票（可看作是众议院选票，一个选区只有一位众议员所以只有一张选票），在全州总统选举获胜者获得剩下的两张选举人票（可看作是参议院选票，每个州都只有两位参议员所以只有两张选票）。从而达到选票分散的目的。以2016年美国总统选举为例，在缅因州，共和党总统候选人特朗普于该州第二国会选区胜出，并从该州4张选举人票中赢得1票。其余48个州和哥伦比亚特区均实行“胜者全得制”（Winner-take-all），即把本州的选举人票全部给予在该州获得相对多数普选票的总统候选人。
如果所有候选人都未能获得半数以上的选举人票，则由众议院从得票最多的前三名候选人中选出总统。1824年，约翰·昆西·亚当斯即在此种情况下，最后由众议院投票选举为总统。

一份选票样本

3、一个典型的选举程序

美国总统选举时，选民直接投票选举总统的选举人，然后在选举人票制度的基础上进行计票。计票采取“胜者全得制”的原则，各州选举人票之和，即为该候选人最终获得的总选举人票。总选举人票超过半数（即270张）就可当选。
一个典型的选举程序如下：

• 各党派推出自己的总统、副总统候选人，在各州注册；
• 各党派在各州推出自己的选举人，通常都会选择那些长期为本党服务的忠诚党员；
• 在选举日进行普选，计算各党选举人之总票数，确定各州获胜者；
• 在各州获胜者所属党派推出的选举人成为该州选举人团（一般遵行“胜者全得制”，只有内布拉斯加和缅因两州稍有不同）；
• 各州选举人在各州首府集会投票选举总统和副总统。
• 各州通常都会要求选举人宣誓保证将票投给他所属党派推出的候选人（也就是在本州普选中获胜的候选人），绝大多数选举人必须根据该州的选举结果，全数投给胜出该州的总统及副总统候选人。在少数情况下，选举人会因为个人感情或者粗心等原因没有这样做而成为失信选举人，然而失信选举人一直未有明确的处罚。

4、制度的诞生

在1787年的制宪会议上，争议的焦点之一就是如何选举总统。不过当时还没有“总统”（President）的提法，会议初期提出的弗吉尼亚方案和新泽西方案以及后来的讨论和各项决议中，都只是使用了“行政官”（Executive）的一般措辞，直到最后由莫里斯起草宪法文稿时，才采用President的头衔来称呼新政府的首长。行政官的选举方式，在制宪会议上主要有四种方案：由国会选举，由各州州长选举，由全国人民直选，由选举团选举。

由各州州长选举和由人民直接选举的方式一开始就遭到了较多的反对，选举方式于是只能从国会选举和选举团选举中选择，其中国会选举的方式在一开始就占了上风。制宪代表谢尔曼先生的意见很有代表性，“由国会选举，并且要行政官绝对依赖议会，因为行政要做的事，就是执行议会的意志”，“世上若有所谓暴政，其实质就是行政独立于最高立法部门”。但到7月17日讨论议会对行政官的弹劾罢免权时，由国会选举的方式引发了相当的争议。莫里斯、威尔逊、麦迪逊等人认为行政必须与议会分开，“如果行政官既由议会选举，又由议会罢免，行政官不过是议会的产物”，因此，他们主张让行政官摆脱对议会的依赖，因而反对由议会选举行政官。经过麦迪逊等人的反复说明和辩论，会议代表们最后接受了他们的意见。大部分制宪代表认为：一是由人民直接选举总统极其困难，因为国家幅员辽阔而当时的交通又不便，况且南北方的差别较大，人民不能全面了解情况，容易受少数阴谋家的操纵。二是立法、行政、司法三权应该相互独立，相互制约，所以总统不应受到国会的控制，不应由国会选举产生，“行政官的选举应该交给别的源泉”，而用选举人替代人民大众选举行政官，才能最有效地绕过这些弊端。最后，制宪代表们达成妥协，采纳了选举人团的方案。同时对于选举人产生的方式代表们的意见还存在分歧，于是就这个问题暂时搁置起来，留给各州议会自行决定。

5、争议

美国总统选举所采取的选举人团制度是美国建国以来的选举制度，一直有效运作。但是也有正反意见存在：
其支持者的观点有：

• 选举团制度可以更好照顾小州和偏远地区的利益，巩固联邦。
• 在候选人选票接近时便于对争议地区复查。
• 一方面具有了民主的功能，另一方面又实现控制，不仅能照顾到大多数人民的利益，更体现了对小州人民的尊重和关心。
• 选举人团以州的选举人为计算单位，可保障小州权益，避免大州长期取得较多普选票可控制全国政局。

• 违背选举“多数决”原则：普选票较多未必能当选总统。历史上曾多次发生这种情况，例如1824年的约翰·昆西·亚当斯、1876年的拉瑟福德·B·海斯、1888年的本杰明·哈里森、2000年的乔治·W·布什、2016年的唐纳德·特朗普等当选人，其普选票都少于对手（除1824年之外，皆为共和党赢得选举）。就算在这种情况下“验票”也不容易翻盘，因为美国过去27次验票中只有3次翻盘。
• 无人赢得选举人票的绝对多数时，将由众议院按每州一票选出总统，不仅忽视民意，也会产生幕后交易问题，如1824年的总统选举。
• 违反了“一人一票、每票平等”的原则，大小州选民的票值不等。例如，在阿拉斯加州，每张选举人票代表着11万2000人，而在纽约州是40万4000人（依据1990年的数据），到现今怀俄明对得克萨斯也差不多的情况。
• 选举人不能代表该州的全部选民，如候选人在该州仅取得相对多数的普选票，但在胜者全取下，候选人可全取所有选举人票。历史上曾多次发生这种情况，选举人票及普选票差距甚大，例如1972年的理查·尼克松（61%普选票；520张选举人票（97%））、1984年的罗纳德·里根（59%普选票；525张选举人票（98%））；或仅取得相对多数的普选票，但借由选举人票胜出，如比尔·克林顿在1992年（43%普选票；370张选举人票（69%））。
• 选举人可以不按照该州选民的意愿去投票，即失信选举人，这在过去选举中亦曾发生，但不曾改变选举结果。
• 部分选民在投票前已知道，例如共和党不可能在加州胜出，而民主党亦不可能在得州胜出，因此放弃投票，影响投票率（除了他们认真求翻盘或现执政州政府大部分做不好外，也因此美国总统投票率只介于49至62%之间，其他国家则介于60到85%之间）。
• 美国有史以来，除了第一任总统乔治·华盛顿之外，独立候选人从未当选过总统。
• 候选人只须集中在摇摆州拉票，不用顾及所有州，这仍会令部分州（大州以外）的权益受损。
• 选举团制度是针对18世纪的问题，当时美国只有13个州，制度当时只是为了平衡南北各州利益，但已经不适应21世纪的需要了，过时就需要修改，甚至废除。

6、常见问题

• 选举人如何选出？具备哪些条件才能当选举人？

各州推选选举人的过程都不同，一般是由各政党提名选举人，或是直接由各党委员会投票选出。为了避免“跑票”，通常会选对政党有优良贡献的老党员或资深干部。不过美国宪法也规定，联邦参议员、联邦众议员、联邦或州政府官员，以及曾有过叛乱或其它犯罪的人都不能担任选举人。

• 候选人赢得各州选举人票的机会一样吗？

虽然选举人票制度只考量人口数和基本席位，但许多州的居民政党倾向明显，几乎从未改变；例如加州是民主党铁票区，德州是共和党基本盘。相反的，那些没有任何单一候选人和政党拥有压倒性支持率的州，就被称为“摇摆州”（Swing State）。摇摆州也是选战中竞争最激烈的地方。

• 选举时间安排

2020年9月29日，将举行首次总统辩论，共和党和民主党的候选人将首次在电视上对阵，之后将在10月15日和22日再进行两轮辩论。

2020年10月7日，副总统的候选人之间将进行辩论。

2020年11月3日，数百万美国选民将参加总统选举投票。

11月3日全民投票之后，各州选举人要在12月“第二个星期三之后的第一个星期一”集会，依各州普选结果，投票给某一组总统副总统候选人；因此也有人说，这一天才是真的“美国总统选举日”。国会参众两院将汇集各州选举人票，在翌年1月6日进行早已知道结果的“计票”。新总统或连任成功总统将在1月20日中午上任。

参考资料:

1、https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%8E%E5%9B%BD%E9%80%89%E4%B8%BE%E4%BA%BA%E5%9B%A2

2、https://www.storm.mg/article/183862?mode=whole

原题如下：

求 19 * （1/10^2+1/11^2+1/12^2+...+1/2013^2+1/2014^2）的结果整数部分。

10^2表示10的2次方

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先自行思考20分钟，

找找思路，

试探一下各种方法

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这类问题硬着头皮算是不可行了，除非用计算机写个小程序。但在考场上，应该也不方便写程序了。

所以必须考虑其他方法。

这是个估值问题，不需要计算准确结果。估值就自然想到缩放法，即找值的上限和下限

比如，设原式的值为P，我们有 P>0，也容易得到 P<19*0.01*2005<381（把每个分数都看成1/10^2，共2005个分数）

那如何找出更小的界限？

我们从单个分数入手

1/10^2=1/(10*10)=1/100

针对1/100，最小的估值界限我们有：

1/101<1/100<1/99

同样，1/11^2

1/122<1/121<1/120

以此类推，这样问题就转化为求 1/101+1/122+1/145 +。。。+Last的和，这是最小值。

这些分数之间并没有什么计算模式可以联系，让求和过程变得简单。

这个思路不是很理想，必须换一换。

这次我们对缩放以后的分数数列要能够方便求和的角度出发重新进行考虑，

分数数列求和有一种模式是前后能销项，如：

1/2*3+1/3*4+1/4*5=1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5=1/2-1/5

这种模式和原题应该有某种联系，这是我们灵感一闪的时刻 ：）

缩放法相比普通计算题更有创新性和挑战性，我们可以自己设计缩放的模式。

这次这样来设计：

1/(10*11)<1/(10*10)<1/(9*10)

1/(11*12)<1/(11*11)<1/(10*11)

。。。

1/(2014*2015)<1/(2014*2014)<1/(2013*2014)

这样求和实际上就是裂项后销项的处理过程了，

最后设原式=P，有

19*(1/10-1/2015)<P<19*(1/9-1/2014)

通过计算：

1.89<P<2.10

？ 好像还确定不了P的整数部分，因为可能为1也可能为2。

看来我们这上边界还大了，需要再缩小。

还是考虑裂项，这么设计会不会更小？

1/(10*10)<1/(9.5*10.5)

1/(11*11)<1/(10.5*11.5)

保持分母两个数间隔1，这么算下来那么

P<19*(1/9.5-1/2014.5)=1.991

那么P<2

所以P的整数部分是 1

答毕。

题目如下：

正整数a,b满足 a²-4b和b²-4a都是完全平方数，问满足条件的a,b有多少组。（如果两组数仅次序不同视为同一组）

据说是浙江某中学数学老师的招聘笔试题，有点难度。

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思考20分钟，

找找思路，

试探一下各种能想到的方法

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这属于数论题，初等数论一般应用的方法有整数除法，同余，奇偶性讨论等。
 a²-4b和b²-4a这样的形式是对称的，不妨设 a>=b
讨论：
1、如果a=b
那么a²-4a=n2
即a²-n2-4a=0，进一步
a²-n2-4a+4=4
(a-n-2)(a+n-2)=4（乘积为4，只有1*4， 2*2两种情况，分别讨论）
只有一组解 a=4,b=4

2、如果a>b
我们要思考a、b的关系，a比b大多少？

只有一个条件 a²-4b是一个完全平方数。

我们知道完全平方数有一个特点，即两个相邻的完全平方数之间没有其他完全平方数，

比如25和36之间就不会有其他数是完全平方数。

那么a²-4b和a²之间是否有其他完全平方数？

明显的，a²-4b < a²

a²-4b 会等于(a-1)²吗？

如果a²-4b = (a-1)²

化简上式得到： 2a-4b=1 

左边偶数，右边奇数，不能相等

所以 a²-4b < (a-1)²

比 (a-1)² 小的完全平方数就是(a-2)²

所以，我们可以得到

a²-4b <= (a-2)²

化简后，我们有 a - b <=1

因为a-b都是正整数

只能是 a = b + 1

代入 b²-4a= n²

(a-1)²-4a = n²

即 a²-6a+1-n²=0

(a-3-n)(a-3+n)=8

讨论 8=1*8 和 2*4这两种情况，

得到一组解，a = 6， b = 5

因此原题只有两组解，即

a=4，b=4和a=6，b=5

这道题的难点在于确定a和b的关系，同时利用完全平方数的特点，即

两个相邻的完全平方数之间没有其他完全平方数。

再回想一下，

a²-4b是个完全平方数，

a和b只能 a =b 或 a=b+1

这个结论还是很让人震撼的，

这也许就是数学的魅力把~~