原题如下：

一个60x100的长方形，全部由1x1的小正方形组成，从长方形的一个角到其对角划一条直线，问，这条直线穿过了多少个正方形。穿过的定义是指直线从正方形内部穿过。如下图这样。

解析：

求直线穿过正方形的数量，我们不要画出来去数，这样很费时间，对建立解题思路也没有什么启发性。

先想想一个简单的问题：

直线穿过1个正方形，会有几个交点。

必然有2个交点，因为如果只有1个交点，就是擦边而过，不是穿过。如有3个交点，那不是直线能做的事。

那么反过来考虑，根据交点数是否可以计算出穿过的正方形数。

 

像下面这个例子，红色的对角线穿过了2条垂直线，1条水平线，总共有3个交点

中间这些交点属于两个相邻的正方形共有，在统计时我们要*2

那么加上两个顶角的交点，

2+3*2=8

穿过的正方形数：

8/2=4

 

如果是这种情况，直线穿过了一个小正方形的顶点

红色的对角线穿过了2条垂直线，1条水平线，总共有3个交点

但其中有两个交点重叠了（即正方形顶点），在统计时需要减去

内部总共的交点数：

3-1=2

穿过的正方形数：

（2+2*2）/2=3

 

这种思路应该是可以的。

也可这么想，数数看直线被分成几段了，这个跟穿过正方形数是一样的。

我们这次决定尝试一下数交点数的方法。

60X100的长方形，内部总共有99条垂线和59条横线，

对角的直线都会穿过这些垂线、横线

总共交点有 99 + 59个

注意，这里面有没有小正方形的顶点？

假设最左上角的顶点为（0，0），最右下角顶点编号为（60，100）

这些编号的顶点都会被直线穿过（只考虑长方形内部）

（3，5）（6，10）（9，15）。。。直到（57，95）

总共有19个点

所以内部的交点 99 + 59 – 19 =139个

那19个顶点重复统计了2次。

穿过的正方形数有

（2+139*2）/2 = 140 （个）

解毕

点评：

对于无法入手的问题，我们可以尝试把问题简化为一个规模不那么大的情形，进行分析和探讨，或者回想一下，是否有做过类似的问题，从简单入手，找出方案。进一步推而广之，向目标问题靠近。

这道题还有几个相对复杂的升级版本，一起来看看。

问题1：

一个10x10x10的大正方体，由1000个单位为1的小正方体组成，一个钢丝从正方体一面穿入从另一面穿出，问，最多能穿过多少个小正方体。

解析：

直线每穿过一个小正方体，最多穿过其两个不同的面，如果从棱线或顶角穿入穿出，那么会相应减少所穿过的面的数量。

为简化问题，我们假设直线全部从面上穿过，即不经过棱或顶点。

那么在正方体内部直线穿过的面有：

前后共9个，左右共9个，上下共9个

一共27个，这些面为两个小正方体共有，在统计时要*2

加上外部的2个面（一进一出）

穿过小正方体最多有（每个小正方体提供2个面）：

（27*2+2）/2=28个

问题2：

小长方体尺寸为1*2*3，共有36块小长方体组成一个6*6*6的大正方体，如下图，问：其对角线CE穿过了几个小长方体。

解析：

这道问题更复杂一点，它规定了直线的路径，我们必须要考虑内部是否穿过长方体的棱边，或者顶点。可是对角线在正方体内部，不像上面的题，可以在平面上把图形画出来讨论。我们要通过想象力，建立立体模型，这是这道题的难点所在。

 

先考虑CE这条线在哪几个切面上？这里切面指把正方体切开后展示出来的面。

CE在这几个面上：

DCEF、EBCH、ACGE

而不在DBFH上

如果CE所在的切面穿过了长方体的棱线，那么CE也必然穿过此棱线。

关于上面这一点，不那么显而易见，但仔细考虑后应该能明白。

 

现在来进行计算。

对角线CE穿过的面有：

前后2个，上下5个，左右1个，共8个

考虑内部穿过的棱线有3条（具体如图示），

穿过一条棱，等价于同时穿过了两个面，

穿过一个顶角，等价于同时穿过了三个面（这里没有穿过顶角的情况）

在统计面时应该减掉过棱的次数，所以穿过的小长方体数有：

（（2+5+1-3）*2+2）/2 =6个

如果我们第一次碰到的就是最后这一道题，不一定能分析出结论。

但是，如果我们从最简单的平面分析开始，

一步一步往下走，走到最后的结论应该不难，至少是有考虑的方向了。

这应该就是我们常说的数学解题思维吧。

▶ 警察在广场旁边查酒驾，一个小伙子酒后开车被警察扣住。警察正要测酒精，小伙子突然跑进广场舞人堆里，跟着跳起来。因为喝多了酒跟 不上舞步，警察很快发现他，然后把他带走。 旁边跳舞的两个大妈吓坏了：“妈呀，跳不好，还得被抓走啊。“


▶ 老王是个杂技演员，他的表演节目是抛飞刀。一次他下班后开车回家，被交警拦住查出他车里有刀，交警问：“你为什么带刀上路？”
老王说：“我是表演杂技的，这是我的工具。”
交警不信让老王当场表演，老王将几柄飞刀抛来抛去
这时后面来了辆车，车上的人说：“卧曹！现在测试酒驾可真严格！”


▶老师：“谁能形容一下什么叫幸运？”
小明：“你从10层楼顶掉下来，下边有个草堆。”
老师：“那什么叫不幸呢？”
小明：“草堆的一角，有个叉子。”
老师：“那什么叫希望呢？”
小明：“你没掉到叉子上。”
老师：“那什么又叫绝望呢？”
小明：“你也没掉到草堆上。”
老师：。。。。。。

★　降落伞——一架飞机除了驾驶员外，还载了四名乘客，分别是总统，化学家，牧师和学生。突然，飞机故障即将要坠毁了。驾驶员：“各位，飞机要栽了。不幸的是，我们只有四个降落伞，所以……Ｂｙｅ　Ｂｙｅ！”说完他就背着一个降落伞跳下去了。总统说：“我是全国最重要的人，不能死！”就拿了一个降落伞跳下去了。化学家说：“我是全世界最聪明的人，不能死！”抢了一个降落伞也跳下去了。牧师叹了口气，对学生说：“最后一个降落伞你拿去吧，我要去见上帝了。”学生说：“不用啊，还有两个降落伞呢！”牧师说：“真的吗？可是？”“刚刚最聪明的人背了我的书包跳下去了。”

★　错误——一个男人去牙买加度假，他的妻子正好出差，打算第二天与他在牙买加会合。这个男人到了旅馆后，决定给妻子发一封电子邮件。可是写有妻子邮箱地址的那张纸条怎么都找不到了，他只好尽力地回忆。不幸的是，他漏掉了一个字母，结果这封邮件发到了一个老传教士妻子的信箱里，这个老传教士前一天刚去世。悲伤的寡妇检查邮件时，看了一眼显示器，尖叫一声，倒在地上死了。她的家人闻声跑过来，看到屏幕上写着：最亲爱的妻子，我刚入住。每样东西都准备好了，迎接你明天的到来。爱你的丈夫。附，这里真是很热。

★　恐怖的书——小雪问老爸：“爸，有没有比较恐怖的书？”“有，当然有。”老爸说：“有本书你老爸我看了二十多年都还觉得很恐怖。”“啊？不会吧？”小雪问：“是哪一本书会看了二十多年还觉得恐怖？”老爸说：“结婚证书。”

原题如下：
4444的4444次方，其得数记为X，X的各位数字之和记为A，A的各 位数字之和记为B，那么B的各位数字之和为多少？


///////////////////////////////////////////////////////////
思考20分钟，
找找思路，
试探一下各种能想到的方法
///////////////////////////////////////////////////////////

解法如下：

说到数码和，我们自然想一个数到被3整数、被9整除的性质，

即各个数码之和能被3或9整除，那么此数就能被3或9整除。

我们考虑4444除3的余数，余1

那么 4444^4444除3的余数也是1（这里应用了带余数乘法的性质）

也就是 

X =  4444^4444 = 1 （mod 3）

A是X的数码和，B是A的数码和，

设C是B的数码和，我们要求C的值

自然

C = B = A = 1 （mod 3）

第二步，考虑A的最大值

X的位数最多 4444*4 = 17776位

所以A < 17776*9 = 159984

A是一个不超过6位的数

B < 6*9 = 54

所以B最多两位

因此C < 5+9 = 14

小于14且除3余1的数有很多，1、4、7、10、13等

确定不了

第三步，我们用模9试试

C = B = A = 7 （mod 9）

C < 5+9 = 14

那么C只能等于7

原题的答案为7

解毕

题目如下：

小明带着小狗一起去上学，从家里一起出发，小狗跑的块，小明走的慢，小狗到了学校门口后又返回去找小明，等碰到小明之后又掉头朝学校跑，一直这么跑直到小明到学校。已知小明家到学校距离1000米，小明每分钟走100米，小狗每分钟走200米，问这个过程中小狗总共走了多少米。

这道题当时在我听来非常新鲜，小狗的跑动行程每一段是动态变化的，而且看似有很多很多个来回，直觉判断此题肯定不是每一段每一段这么算的。那么从哪入手？我们要求路程，因为

路程 = 速度 * 时间

速度我们知道了，只需要知道时间。

那么时间是多少？小狗跑动的时间和小明的时间是否相同？

想到这里，此题应该能解了。

这是一道行程问题非常有趣的拓展题，可以激发孩子对数学兴趣，我当年就是这样的一种体会。

原题如下：

在三角形ABC中，GD=1/6BC，三角形DEF的面积是三角形OGD面积的3倍。

如果三角形BED和三角形DFC面积都是60，那么三角形ABC面积是多少?

///////////////////////////////////////////////////////////

思考20分钟，

找找思路，

试探一下各种能想到的方法

///////////////////////////////////////////////////////////

这道题的难点在不确定。三角形ABC不确定，点DEF也没有固定。

ABC中的几个小三角形即不同同底，也不等高。如何解题呢？

我们知道共底模型中，两个三角形共用一个底边，各自的高不同。

在等高模型中，两个三角形等高，但底不同。

我们需要通过思考，把此题中的已知条件转换为熟悉的模型

然后进行讨论。

如何转换？

已知，GD=1/6 * BC 

那么，连接AG，▲AGD和▲ABC 可以应用等高模型

已知，▲EDF = 3 * ▲OGD

那么作平行线GK//AD

那么▲OKD = ▲ OGD（等高模型）

那么 KO = 1/3 * EF

连接AK，

那么▲AKO = 1/3* ▲AEF

因为GK//AD

同样有 ▲AKO = ▲AGO

由于▲AGO + ▲ OGD = ▲AGD = 1/6 * ▲ABC

 ▲AGD = 1/3 * 四边形 AEDF

可以知道 四边形 AEDF占▲ABC的1/2

▲ABC的另外1/2 是 ▲BED和▲DFC，各60

所以▲ABC = 240

解毕