一道逻辑推理题,适合与小朋友一边走路一边讨论着玩

2021/01/20

原题如下:

A、B两位聪明学生分别在两个房间,老师与他们玩一个抛硬币的游戏。

规则如下:

老师在A、B学生房间各抛一次硬币,A猜B房间硬币的正反情况,B

猜A房间硬币的正反情况,只要有一个人猜对,A、B都将同时得到奖品,

如果没有人猜对,则都没有奖品。在抛硬币之前A、B可以交流一次,但之后就不能交流了。

问,A、B是否有一个必胜的策略。



【5星难度】20182018...2018x151514141313...0707的计算结果有多少个奇数数字

2021/01/20

这是一道18年迎春杯小高组的计算题,我认为很难,太为难小朋友了吧。


原题如下:

20182018...2018(共18个2018)x151514141313...0707的计算结果有多少个奇数数字。



解析:

数字小可以直接算,对于原题这个思路就直接放弃。

那么分析两个数,

20182018...2018(共18个2018) = 2018*00010001...0001(18组0001)

设 151514141313...0707 = S1

S1的数字和为90,那么S1能被9整除

S1的奇数位数字和减去偶数位数字和是66,S1能被11整除

通过观察S1能被101整除,因为S1符合截取两位数的判定方法,即:

一个多位数,截取末两位,由末两位和之前的高位,各形成一个新数,这两个新数相减,
重复上述步骤,直至差足够小,这个差能被101整除,则原数能被101整除。

所以S1能被 9 * 11*101=9999整除

设 S1 = 9999 * S2(S2是1开头的32位数)

那么,

原式 = 2018*00010001...0001(18组0001)* 9999 * S2

=2018*00010001...0001(18组0001) * 9999 * S2

=9999(72个9)*S2

=9999(72个9)*S2*2018

设 S2*2018 = S3,S3应该有35位(因为S2是1开头的32位数)

故原式 = 9999(72个9)*S3(35位数)


分析到这一步,原式已被大大的化简,离最后的结果还有一步。

一般我们做某个数N*999,会改为N*(1000-1)来做

这里也用这个思路试试:

原式 = 【1000...0(72个0)-1】*S3

=S3*1000..0(72个0)-S3

=(S3-1)99...9(99...9-S3+1)【这是减法借位之后的结果描述】

第一部分S3-1是35位的一个数

中间部分999..9有37位(因为原来有72个0)

最后一部分99..9-S3+1仍然是一个35位数


可以看到,第一部分和最后一部分的和恰好是999..9(共35位9),那么

我们可以判断第一部分和最后一部分的奇偶位是互补的,

举个例子:

S3=728

728-1 = 727 和 999-728+1 = 272

9是奇数,必然是一个奇数加一个偶数得到,所以

727和272奇偶位互补,

连起来的这个数字727272奇数位和偶数位数量相同

所以原式=(S3-1)99...9(99...9-S3+1)

有奇数数字35+37=72个,偶数数字35个,总位数107位



补:

我们可以进一步猜测:

 999...9(N个9)*S1(M位数),只要M<N那么结果就有N个奇数

这个猜测的证明与上面过程类似,留给小朋友们作为作业吧。


一道关于染色问题的好题,15块大小是4x1的矩形瓷砖。。。

2020/11/02

原题如下:
用15块大小是4x1的矩形瓷砖和一块大小是2x2的正方形瓷砖,能否恰好覆盖8x8的正方形地面。

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思考20分钟,
找找思路,
试探一下各种能想到的方法,
看看最远能走到哪里
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解析:
这类问题,从原题中获得数据很少,不能直接进行分析。
可以简单的尝试构造一下,应该会发现覆盖不了。
因此,我们的思路如下:
首先假设能覆盖,那么得到结果A
如果结论A有明显的矛盾点,并不成立,那么我们的假设就是错的,
原题可以得到证明。
如果A没有矛盾点,那么我们给出一个构造方案。

我们把8x8的地面按下面的方式染色,色块总数32,是偶数。
那么4x1的地砖无论怎么摆放,都可以覆盖2个色块和2个白块,
2x2的地砖也一样,都可以覆盖2个色块和2个白块
奇偶性分析没什么问题,这种染色方式不合适。

图1


第二种染色方式:
简单变换一下,所有和主对角线平行的方块都间隔染色,那么这样2x2的地砖只能覆盖1个色块或3个色块,不可能是偶数个色块。
4x1的地砖无论如何布置仍然可以覆盖2个色块
此时,如果能完全覆盖,总的色块数是15*2+1或15*2+3,与总的色块数32不一致
所以假设有问题,也即不能完全覆盖。

图2


第三种染色方式:
染色的设计目标,让4x1的地砖能覆盖4种颜色,2x2的地砖只能覆盖3种颜色。
如下如,所有主对角线的色块都染成相同的染色,这样2x2的地砖对角线两个颜色也就相同了,所以最多覆盖3种颜色。因为4种染色都间隔着染,4x1的地砖无论如何放都能覆盖4种颜色的一种。
那么,15块4x1的地砖覆盖了各4种颜色块的各15块,剩余4种颜色各1块
但2x2的地砖最多只能覆盖其中3种颜色,无法全部覆盖这4种颜色,所以无法全部覆盖。

图3


点评:
染色问题是一类与抽屉原理和图论知识联系在一起的数学问题,比如像Ramsey定理“世界上任意6个人中,总有3个人相互认识,或互相皆不认识”就可以用染色法进行分析。

解决方格染色问题的关键是要确定用几种颜色以及用何种方式给方格染色。交替染色方案是比较常用的,但对于有些问题要根据题意用多种染色方式进行试验,从中找出解决问题的正确途径。如果想不到合适的染色方式,就要多做做练习题,看看其他人的解题方案,拓展一下思路,知识积累下来就成为经验,最后也就不怕难题了。

小豆豆的逻辑

2020/10/30

其一 吃饭

爸,我现在是一只小鸟,嘴巴很小的,每次只能吃一粒米饭。

( ̄_ ̄|||)

爸,我是一个苍蝇了,没有嘴巴了。

( ̄_ ̄|||)


其二 看不见

爸,我想要那个红色的公交车~~~

我们有一个了,我看看包里面,正好带出来了。

(捂着眼睛)我看不到,看不到~~~

( ̄_ ̄|||)


其三 红绿灯

爸,为什么有的绿灯是向左的箭头?

箭头向左就左转弯,向右就右转弯。

为什么还有向上的箭头?向上开吗?

( ̄_ ̄|||)


其四 交通警察

爸,后面那辆警察车是抓我们的吗?

对,你没有系安全带

那快开,别让他抓住

好,系好安全带

(一个路口转弯后)

爸,看不见警察车了,系好了他就不抓了。

:)


读吕相绝秦

2020/10/30

这篇战斗檄文表面上是强烈谴责秦国的一贯做法,实际上晋国也在求和,而且能感觉出心切。

文中也有歪曲事实,揽功推过的说辞,应该是为了占领道德制高点,把脏水都泼给老秦,为以后的开打做准备。


原文:

夏四月戊午,晋侯使吕相绝秦,曰:“昔逮我献公及穆公相好,戮力同心,申之以盟誓,重之以昏姻。天祸晋国,文公如齐,惠公如秦。无禄,献公即世。穆公不忘旧德,俾我惠公用能奉祀于晋。又不能成大勋,而为韩之师。亦悔于厥心,用集我文公。是穆之成也。

“文公躬擐甲胄,跋履山川,逾越险阻,征东之诸侯,虞、夏、商、周之胤,而朝诸秦,则亦既报旧德矣。郑人怒君之疆埸,我文公帅诸侯及秦围郑。秦大夫不询于我寡君,擅及郑盟。诸侯疾之,将致命于秦。文公恐惧,绥静诸侯,秦师克还无害,则是我有大造于西也。

“无禄,文公即世;穆为不吊,蔑死我君,寡我襄公,迭我肴地,奸绝我好,伐我保城。殄灭我费滑,散离我兄弟,挠乱我同盟,倾覆我国家。我襄公未忘君之旧勋,而惧社稷之陨,是以有淆之师。犹愿赦罪于穆公,穆公弗听,而即楚谋我。天诱其衷,成王陨命,穆公是以不克逞志于我。

“穆、襄即世,康、灵即位。康公,我之自出,又欲阙翦我公室,倾覆我社稷,帅我蝥贼,以来荡摇我边疆,我是以有令狐之役。康犹不悛,入我河曲,伐我涑川,俘我王官,翦我羁马,我是以有河曲之战。东道之不通,则是康公绝我好也。

“及君之嗣也,我君景公引领西望曰:‘庶抚我乎!’君亦不惠称盟,利吾有狄难,入我河县,焚我箕、郜,芟夷我农功,虔刘我边垂,我是以有辅氏之聚。君亦悔祸之延,而欲徼福于先君献、穆,使伯车来命我景公曰:‘吾与女同好弃恶,复脩旧德,以追念前勋。’言誓未就,景公即世,我寡君是以有令狐之会。君又不祥,背弃盟誓。白狄及君同州,君之仇雠,而我昏姻也。君来赐命曰:‘吾与女伐狄。’寡君不敢顾昏姻。畏君之威,而受命于吏。君有二心于狄,曰:‘晋将伐女。’狄应且憎,是用告我。楚人恶君之二三其德也,亦来告我曰:‘秦背令狐之盟,而来求盟于我:“昭告昊天上帝、秦三公、楚三王曰:‘余虽与晋出入,余唯利是视。’”不榖恶其无成德,是用宣之,以惩不壹。诸侯备闻此言,斯是用痛心疾首,暱就寡人。寡人帅以听命,唯好是求。君若惠顾诸侯,矜哀寡人,而赐之盟,则寡人之愿也,其承宁诸侯以退,岂敢徼乱?君若不施大惠,寡人不佞,其不能以诸侯退矣。敢尽布之执事,俾执事实图利之。”

一道来自美国的组合题,在一个10行10列的棋盘上,任意放入15枚棋子

2020/10/20

原题如下:

在一个10行10列的棋盘上,任意放入15枚棋子,每个棋格中最多放一个。请证明:可以从其中挑出5行和5列,使所有棋子都在挑出的行或列中。


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思考20分钟,
找找思路,
试探一下各种能想到的方法,
看看最远能走到哪里
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解析:

首先建立画面感,15枚棋子放入棋盘上,一定有一些行有多枚,有些行只有一枚或没有。

挑出5行,要包含尽量多的棋子,自然选棋子最多的5行。

那么考虑棋子最多的5行至少有几枚棋子?这是这道题的突破口。接下来计算论证,这也不容易的。

棋盘总共10行,分成两组,棋子多的5行为一组和棋子少的5行为一组,

并且棋子多的那组每行棋子数不少于棋子少的组每行棋子数。

那么

对于棋子少的那5行,最多总共能有5枚棋子,

因为如果有6枚,按抽屉原理,

必然有一行有2枚或2枚以上棋子。

而多的那一组,因为只有9枚棋子(15-6=9),因此,

必然有1行只有1枚。

这样与我们的假定相矛盾。

所以,对于棋子少的那5行,最多总共能有5枚棋子

也即棋子多的那5行至少有10枚棋子

我们选这5行,

还剩下5枚棋子,用5列去选必定都可以选中。

原题证毕。


点评:

这道题还可以对10行按棋子数进行排序,从多到少,编号为1、2、3、4、。。。直到10

我们讨论第5行。

如果第5行的棋子数<=1,那么后续6、7。。。10行都<=1,选前5行棋子数必然>=10

如果第5行棋子数>=2,那么前5行棋子总数必然>=5*2=10

这么证明似乎更简洁一些,但也要求孩子建立排序讨论的思想。


此题在构造论证的过程中用到了抽屉原理、排序等数学方法,看似简单却是一道锻炼思维的好题。